先生看着学子们积极参与的样子，满意地点了点头。然后，他开始引导学子们思考新定义运算的性质。

“我们已经了解了一些新定义运算的示例，现在让我们来探讨一下新定义运算的性质。首先，新定义运算是否满足交换律呢？”先生问道。

学子们陷入了沉思。过了一会儿，学子丁回答道：“对于刚才的两个新定义运算， 和 不一定相等，所以新定义运算不一定满足交换律。”

先生赞许地看着学子丁，说道：“非常正确。那么新定义运算是否满足结合律呢？”

学子们又开始思考起来。学子戊回答道：“对于某些新定义运算，可能满足结合律，但对于一般的新定义运算，不一定满足结合律。我们需要具体的例子来判断。”

先生点了点头，说道：“很好。新定义运算的性质不像传统运算那样具有普遍性，我们需要通过具体的运算规则来分析其性质。这也正是新定义运算的魅力所在，它可以更加灵活地描述函数之间的关系。”

四、代号的引入

在对新定义运算有了一定的了解之后，先生又引入了另一个概念——代号。

“为了更方便地研究函数和新定义运算，我们可以给函数和运算赋予特定的代号。这样可以使我们的研究更加简洁和高效。”先生说道。

学子们好奇地看着先生，等待着他进一步的解释。

“例如，我们可以给函数 赋予代号 ，给新定义运算 赋予代号 。这样，当我们提到 时，就知道是指函数 和函数 在新定义运算 下的结果。”先生边说边在黑板上写下这些代号。

学子己问道：“先生，为什么要使用代号呢？直接用函数和运算的表达式不是更直观吗？”

先生回答道：“在一些复杂的问题中，使用代号可以使我们的表达式更加简洁，便于分析和计算。同时，代号也可以帮助我们更好地组织和管理我们的研究成果。”

五、代号的应用

为了让学子们更好地理解代号的应用，先生给出了一些具体的例子。

“假设我们有三个函数 ， ， ，我们已经给它们赋予了代号 ， ， 。现在，我们来计算 的值，其中 和 是两种不同的新定义运算。”先生说道。

学子们纷纷拿起笔，开始计算。

首先，计算 的值。根据前面的定义， 。

然后，计算 的值。假设 定义为 。

将 和 代入 运算中，可得 。

将 的值代入上式，进行化简计算。